数学之美-编程实现唯美幽灵曲面生成过程

从数学角度来看，Ghost Plane Surface（幽灵平面曲面）是一种特殊的参数化曲面，它有着独特的几何性质和表示形式。
### 参数化方程
Ghost Plane Surface的参数方程如下：

x = cos(u) sinh(t) / (cosh(t) - cos(u))
y = cos(u) sin(u) / (cosh(t) - cos(u))
z = sin(u)

其中，参数 u 和 t 的范围为：

-pi <= u <= pi

-pi <= t <= pi

### 几何性质
1. **对称性**：
  - 参数 u 控制 z 方向的变化， \sin(u) 在 [-π, π] 范围内是对称的，因此曲面对称于 z = 0 平面。
  - 参数 t 控制 x 和 y 方向的变化，由于 \sinh(t) 和 \cosh(t) 的奇偶性质，曲面在 t = 0 处是对称的。

2. **曲面特性**：
  - 当 t = 0 时，\cosh(0) = 1，所以 x = 0 和 y = \frac{\cos(u) \sin(u)}{1 - \cos(u)} 。在这种情况下，曲面在 z 方向上的形状类似于一个正弦波。
  - 当 u = 0 或 u = \pi 时，\sin(u) = 0，曲面在这些位置上交于 z = 0 平面。
3. **奇点和自相交**：
  - 在特定参数值组合下，曲面可能会出现奇点或自相交现象，这取决于参数化方程的分母 \cosh(t) - \cos(u) 是否为零。这种情况发生在 \cosh(t) = \cos(u) 时。