如何证明等式“e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x)”成立？

https://www.youtube.com/watch?v=w04dhu3LOOA
具体方法：通过“e^x的导函数是其本身”可得，其函数从0开始到任意一个x的值的定积分的大小与x的关系式 + C = e^x，由于该函数在x=0处有有效值，代入得此时该函数得值为1；对该函数求导得到当x=0时在函数图像上对应的点与该函数的切线的解析式应该为“y = x +1”，此时假设在x=0→dx无限接近与0时，这段函数与e^x在x的取值范围相同时对应的函数图像完全重合，此时若对此段求其定积分与dx的关系，在将其新得到的函数求关系式当作e^x的一部分，不断进行循环后得到“e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ...... + x^n/n!”这样的关系式，即e^x的展开式。
sinx的泰勒展开式是不固定的，sin(sinx)∽x，设sinx=t，则sint~t，所以sint~t~sinx~x,由等价无穷小的传递性，因此泰勒展开为x，也可以直接算，求五次导数，可以解出除了x项以外都是0。
例如此时sin(x)的泰勒展开式就是（用角度表示）
sin(x)=(x^1)/1!*pi/180-x^3/3!/(pi/180)^3+... = x + (-1)^1*x^3/3! + (-1)^n*x^5/5! + ... +(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!
同理可得“cos(x) = 1 + (-1)^1*x^2/2! + (-1)^2*x^4/4! + ... + (-1)^(n)*x^(2n)/(2n)!”
cos(x) + i*sin(x) = (1 - x^2/2 + x^4/4 + ...) + i*(x - x^3/3 + x^5/5 + ...) = (x*i)^0/0! + ... + (x*i)^n/n! = e^(i*x)
视频里的内容我只能听懂到这里了......后面的内容好像是说这个公式用逆时针旋转的转角（相对于复平面中的坐标原点）来表示的。