【线性代数练习】为何上三角矩阵的逆还是一个上三角矩阵？

Gilbert 的线代教材 Introduction To Linear Algebra 中的 2.5 Inverse Matrices 提到了一些有特点的矩阵的逆矩阵仍然很有特点，
比如：
一个可逆的上三角矩阵的逆矩阵 仍然是一个上三角矩阵。

这是为什么呢？在学习过程中，我按照Gilbert指出的思路进行了一些证明练习。